今日のTIps

学

こういう風に書くと，プログラミングTipsやら，MacOSのTipsに思えるでしょ．違います，数学のTipsです．
あるHilbert空間Xの部分空間Yが，Xの中で稠密であることを示したいとします．このとき，素朴に思いつくのが，Xの勝手な元fを持ってきて，Yの元の列で，fに収束するようなものを作ってみせるという手．

しかし，Hilbert空間だともう一つ手があるんですな．

「f⊥Y ならば f=0」を示す．

f⊥Yというのは，Yの全ての元がfと直交するということ．証明は関数解析の本に載っています．

実はこっちのほうが結構楽なことがある．今日のセミナーででてきたのが以下のような問題．

XをHilbert空間として，\{\psi_n(x)\}をXの(正規直交とは限らない)完全系とする．このとき，部分空間
M=\{f \in L^2(0,T;X)\,;\,\exist n\,\mathrm{s.t.}\,f(t,x)= \sum_{l=1}^{n} c_l(t)\psi_l(x),\, c_l(t) \in L^2(0,T)\}
は，L^2(0,T;X)の中で稠密である．

略証：f \in Xを， f \perp Mとなる元であるとする．すると特に，任意のnと，c \in L^2(0,T)について，
(f,\,c\psi_n)_{L^2(0,T;X)}=0
である．今，形式的に，c=\delta(t-t_0)\,(t_0 \in (0,T))と置いてみると，上の式は，
(f(\cdot,t_0),\,\psi_n)_X = 0
と書ける．完全性より，f(\cdot,t_0)=0が言える．t_0 \in (0,T)は任意だから，結局f=0である．よって結論を得る．

今，L^2(0,T)で考えているので，delta functionをとることはできないが，その場合はdelta functionへの近似列をとればよい．

正規直交とは限らない完全系なので，\{\psi_n(x)\}で張られる部分空間がXで稠密であることは言えても，そのときXの元が一意的に展開できるかどうかはわからないわけです．だから，素朴に近似列を作りにくい．こういうときに使える手です．

当たり前なことですが，効力は大きいですよね，これ．