「今日人から聞いた問題」解決篇

解決篇です．まだ考えたい人は，見ないように．

最初の問題は簡単で，Aは自分の見えているBの帽子の色を，Bは見えているAの帽子の色と逆の色をいえばいいのです．

さて，問題は二つ目．

こうします．Hを帽子を被っている人たちの集合とします．すると，Hの中の人たちの帽子の被り方というのは，Hから{赤，白}という2元集合への写像だと見なせます．こういう写像全体を2Hと書くことにして，この上に次の同値関係を入れます．

f 〜 g =def 有限個を除くすべてのHの元xについて，f(x)=g(x)

そして，2Hのこの同値関係による同値類それぞれから，予め代表元を一つずつとってきます．(ここで選択公理をつかった．)

さて，いま，帽子の被り方が，f∈2Hで指定されているとします．そして，Hの中のxさんについて考えましょう．すると，xさんは，自分以外の人の帽子の色はわかっているわけです．つまり，有限個(xさん一人)を除いた全員の帽子の色がわかっているのですから，xさんの帽子の色が何だろうと，帽子の被り方はfと同じ同値類に入っているはずです．つまり，xさんはfの同値類[f]がわかるわけです．

ところが，これはxさん以外の人も同じです．つまりHの中の人たちは全員，[f]が何かは既にわかっているわけです．そこで，さっきとった[f]の代表元f0をとって，xさんがf0(x)を答えるということにしておけば，f〜f0でしたから，有限人を除いてちゃんと帽子の色を当てることができました．めでたしめでたし．