無限次元では

id:m-hiyamaさんから「何かご存知かも」と言われ，書かずにはいられません．とは言いながら，所望のΦ'の例がなかなか思いつかないので，そのヒントになりそうな，以前に書いたLax-Milgramの定理に関して．

どういう話かというと，「『Bに関して強圧的』という仮定を除くと途端に反例ができるよ」という話です．Hilbert空間H上の双線形形式B:H×H→Rが強圧的であるとは，

ある定数C＞0が存在して，任意のu∈Hについて，|B(u,u)|≧C||u||2となること．

でした．ただし||・||はH上のノルムとします．これが成立しないというのですから，B(u,u)はuのとり方次第でいくらでも0に近づくことができるというわけです．ここに留意して，反例を構成します．

反例

まず，Hとしてl2空間

l2 = { a := (an)n = 1,2,… : Σan2 < ∞ }

をとります．すなわち，この空間は，2乗和が収束するような実数列全体のことです．こうやって定義すると，内積とノルムを

(a,b) := Σanbn

a

:= (a,a)1/2 = (Σan)1/2

で定義することにより，l2はHilbert空間になることが知られています．

さて，l2上の有界かつ非退化な双線形形式Bを，

B(a,b) := Σ(1/n)anbn

と定義しましょう．これはつまり，上の内積の定義において，各項に1/nのウエイトを掛けたものです．有界性は|B(a,b)|≦||a||・||b||からすぐに分かります．しかし一方で，Bは強圧的ではありません．例えば，数列e(k)として，「k項目のみ1で，他はすべて0」という数列を考えてみれば，B(e(k),e(k))=1/kですから，kを大きくしていくとこれはいくらでも0に近づけます．

このBについて，Lax-Milgramの定理が満たされないことを主張したいわけです．そのためには，l2上の線形汎関数Fで，F=B(b,・)となるb∈l2が存在しないようなものを構成すればいいわけです．実はそれというのが，

F(a) := Σ(an/n)

というもの．この線形汎関数はちゃんと連続にもなってます．

BとFをグッと睨んで，F=B(b,・)となるようなbを探そうとしてみます．先ほどのe(k)を考えると，

B(b,e(k)) = bk/k
F(e(k)) = 1/k

ですから，必要条件として，bk = 1が分かります．つまり，bはすべての項が1になる数列です．ところが，「すべての項が1になる数列」の2乗和は発散してしまいますから，これはl2の元ではありません．したがって，F=B(b,・)となるbは存在しません．

振り返り

もともとLax-Milgramの定理は，Φ:H→H* Φ(u):=B(u,・)という写像の逆が存在することを保証するものです．Bが強圧的なら逆は存在しますが，Bが強圧的ではない場合，Φ(H)はH*よりも真に小さいわけです．

ちなみに，Hが有限次元だった場合は，id:m-hiyamaさんの書いておられる通り，ちゃんとΦには逆が存在します．それはなぜかというと，Hが有限次元の場合は，どんな双線形形式も強圧的になるからです．これは以下のような理由です．

Hを有限次元として，BをH上の非退化な双線形形式とします．このとき，Hのなかで，||v||=1となるv∈Hの集まり，つまりHの単位球面を考えてみます．Hが有限次元ならこれはコンパクトなので，|B(v,v)|はこの単位球面上で最小値C＞0をとります(0にならないのは，非退化性があるから)．すると，任意のu∈Hについては，u/||u||は常に単位球面上にありますから，

B(u,u)

=

u

2

B(u/

u

,u/

u

)

≧ C

u

2

が成立します．こうして強圧性が証明できました．

これだけ見ると，Hが無限次元でもよくないかという気がするんですが，残念なことに，Hが無限次元だと単位球面はコンパクトになりません．このことが事情を複雑にしているわけです．