符号付測度 - 雪国はつらつ製作所

今日の関数空間セミナー内，符号付測度の定義について．驚愕の事実．というか，これまで気づかなかったのが恥ずかしい．

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \nu (E_n) = \nu \left( \bigcup_{k=0}^{\infty} E_n \right)$ という完全加法性の定義って， $\nu :\mathscr{B} \to R_{+}\cup\left\{\infty\right\}$ だったら無限大も許すのだが， $\nu :\mathscr{B} \to C$ だとかなり強いこと要求しているのだ．左辺は収束どころか，絶対収束しないといけない．そうでないと，番号付け変えると違う値にいくかもしれない．うーん，絶対連続ならわからなくもないが(ラドン・ニコディムの定理があるからね)．