今日人から聞いた問題

2人の人A，Bがいて，その二人に赤か白の帽子を被せます．A，Bは自分の帽子の色は見えませんが，相手の帽子の色なら見えます．さて，A，B同時に「赤」か「白」かどちらかを適当言ってもらう自分の被っている帽子の色を答えてもらうとき，A，Bの帽子の色がどうであっても，２人のうち少なくとも１人は自分の答えが自分の帽子の色に一致している自分の帽子の色を言い当てられるような，A，Bのうまい答え方はあるでしょうか？あるとしたら，その方法を示してください．[追追記]ただし，事前に２人で話をして，ちゃんと答え方を決めておくのはありとします．

これがパッと答えられると，次にこいつが待っているわけです．

無限人の人がいて，彼ら全員に赤か白の帽子を被せます．各人は自分の帽子の色は見えませんが，他人の帽子の色ならすべてわかります．さて，いま全員一斉「赤」か「白」かどちらかを適当に答えてもらう自分の被っている帽子の色を答えてもらうとき，彼らの帽子の色がどうであっても，有限人を除いた全員が自分の答えと自分の被っている帽子の色が一致している帽子の色を言い当てられるような，彼らのうまい答え方はあるでしょうか？あるとしたら，その方法を示してください．ただし，選択公理は仮定します(まあ，そりゃそうだ)．[追追記]ただし，事前に全員で話をして，ちゃんと答え方を決めておくのはありです．

この答えを聞いて，不覚にも感動してしまったのでした．見事としか言いようがないです．これだから，コーヒータイムには行くべきなんですよ．

[2008-10-09追記] Ozさんの質問を受けて訂正．自分の帽子の色を推論するわけではなくて，答えは適当に言ってそれが自分の帽子の色に一致しているかどうかを考えている事に注意．赤と白のうち，どちらを言うかは自分の帽子の色とは別に考えろということです．

[追追記]ヒントを追加します．

一つ目の問題のヒント：２人が同じような答えをしてしまったら勿論不可能です．

二つ目の問題のヒント：ある人から見えていない帽子は自分の帽子１つ，つまり有限個しかありません．